數學的美有兩種

達文西所畫的立體。 

 

原文|Robbert Dijkgraaf

編譯|Mumu Dylan

 

  數學界長期以來把這個領域一分為二成「應用數學或純粹數學」的對決,就好比其他領域的「實驗或理論」。或者,我們可以把數學一分為二成大腦那樣,代數的「左腦」以邏輯順序思考,而幾何的「右腦」以更直覺的方式思考。數學領域還有一個不易察覺的微妙區別:數學的美有兩種,而我們對它有各自的偏好。

 

  非數學專業者一開始很難同意數學是美麗的,或是體會到數學之美。你可以反駁說這只是「情人眼裡出西施」,但當藝術作品被隱藏在黑暗之中,用一堆難以理解的符號與術語遮蓋時,人們也很難看清它的美麗。因此,試著欣賞數學而不去理解其內部原理,就好比閱讀貝多芬第五交響曲的樂譜,而不親自去聆聽感受。

 

  從古至今,數學家們毫不遲疑地認真形容方程式和證明之美,而且這是普遍存在於不同文化與時代的美學:古巴比倫的數學家與現代的學生都能在研究平面幾何線條的完美排列,或是解開二次方程式的過程中發現相同的樂趣。

 

  粗略地說,數學之美有兩種形式:通用或例外。而數學家本身也有這兩種類型,或至少偏向於兩者之一。

 

藝術家Nike Savvas的作品《Atomic: full of love, full of wonder》。

 

  第一種變化形式是空靈的美,體現在形式架構和模式之中。這是一種對數學世界不可阻擋的秩序的讚嘆,試想自然數排成無限序列有多麼完美,或是思考維數遞增的歐幾里得空間序列:一條線、一個平面、一個空間等等。或者形式邏輯本身的嚴謹性和精確性,這些架構的強大與實用令人難以置信,而從某種角度來說,它確實是美麗的。

 

  但對於那些身處在數學領域之外的人——幾乎包括大多數人——很難對 N 維向量空間的概念,或者實線上的連續函數感到興奮。欣賞這些想法就是欣賞一種抽象的形式,而這種美感往往令局外人感到難親近和生硬。它就像是冰山美人的美貌,最好保持安全距離欣賞,而不要輕易靠近。

 

  第二種形式的數學之美更能引起共鳴。它涉及到規則的例外,即不屬於任何更大範疇的東西。這些都是奇珍異寶、是唯一僅有之物。這種數學之美具有一種完全不同的感覺:它充滿獨特性、離奇有趣——當然,也相當主觀。

 

  以十二面體為例,它是數學奇珍異寶之中最受歡迎的實體。它是由十二個五邊形組成的規則實體,是五種完美對稱的實體之一。這個形狀作為深奧事物的象徵由來已久,最早可追溯至古希臘,當時柏拉圖提出了五個物體(現在被稱為柏拉圖立體)與物質宇宙之間的聯繫,十二面體象徵所有的天體——恆星與行星,每一個都在形狀與運動上完美無缺。從那時起,這種數學形式就象徵著地外之物,成為煉金術師和占星家最鍾愛的符號。從現代數學角度來看,它仍然被認為是例外,它是少數完全獨立的對稱物體之一,不屬於任何更大的範疇。

 

兩種數學之美都吸引著數學家,並帶來了許多進展。圖為藝術家Nike Savvas的作品《Sliding Ladders》。

 

  多年來,這兩種數學之美都吸引著數學家,並帶來了許多進展。抽象顯然是一個強大的工具,它允許一個方式同時處理整個範疇的所有問題,把問題放在更廣泛的角度,而追隨冰山女王的數學家通常也不喜歡具體的應用或案例;數學例外的魅力也是富有成效的策略,這些物體通常位於多種想法的交匯處,因此可作為完全不同世界之間的接入點。這種風格的支持者不喜歡「抽象的無稽之談」,而是更珍視具體應用或案例的獨特性。

 

  現實世界完全不同於理想化的數學風貌,大多數科學都與描述真實世界的宇宙密切相關——但對數學無窮多的可能性來說,這只是其中一種。尚—皮耶‧塞爾(Jean-Pierre Serre)曾經跟數學家同事拉烏爾・博特(Raoul Bott)開玩笑說:「當其他科學在尋找上帝為這個宇宙選定的規則時,我們這些數學家在尋找連上帝都必須遵守的規則。」

 

1596年,克卜勒以柏拉圖立體製作的太陽系模型。

 

  宇宙究竟遵循什麼規律?對大多數科學家來說,被獨特的例外所吸引很自然,但科學告訴我們,抽象而樸實的數學之美往往提供更安全的途徑。最著名的例子是天文學家克卜勒(Johannes Kepler)在早期研究中出現的柏拉圖立體。他提出了一個太陽系模型,該模型基於五種固體的特定結構,來計算行星軌道之間的距離。這是一個美好的想法,但註定會失敗。後來,克卜勒自己否定了這個模型,因為他得出了結論,行星的軌道並非完美的圓形,而是醜陋的橢圓形,可能呈現各種形狀。

 

  儘管克卜勒最初因為被「例外」吸引而誤入歧途時,牛頓繼續根據其萬有引力理論解釋了行星的橢圓軌道。事實上,他證明了天空中的所有運動都是不同形式的圓、橢圓、雙曲線和抛物線:美存在於牛頓的抽象定律,而不是具體的解。

 

  這是物理學家和科學家學過很多次教訓的經驗。在 19 世紀,科學家不再收集奇珍異寶的例外,而是對自然世界進行更系統性的研究。生物學家開始收集任何有機體的標本,而不只是收集最美麗的蝴蝶或鳥類,然後發現了演化理論。化學家對所有的元素進行分類,不再只關心閃閃發光的銀和金,並在過程之中揭開了元素週期表的模式。物理學家隨後發現了隱藏在元素原子中的基本粒子對稱性。

 

  每一次,他們發現宇宙的美在於物理現象背後的抽象結構。這些結構剛開始可能使人困惑和難以理解,但放遠來看往往更有力量與意義。而且,確實更美麗。

 

 

原文出處:Quanta

 

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